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By Sven O. Krumke

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17 Sei H ein Binomial-Heap mit n Elementen, n ∈ N+ . Dann gilt: (i) Sei n = ki=0 bi 2i die Binärdarstellung von n mit k = log2 n . H besitzt genau dann einen Binomialbaum der Ordnung i in der Wurzelliste, wenn b i = 1 gilt. (ii) Der größte Binomialbaum in der Wurzelliste von H ist ein B k mit k = log2 n . 5 Binomial-Heaps 35 (iii) Die Wurzelliste von H besitzt v(n) Binomialbäume, wobei v(n) die Anzahl der Einsen in der Binärdarstellung von n bezeichnet. (iv) Die Anzahl der Kanten in allen Binomialbäumen von H beträgt n − v(n).

Als Resultat ist dann z Wurzel eines Bk+1 . Wie man aus der Implementierung unmittelbar ablesen kann, läuft B INOM -L INK in O(1) Zeit. 17 Anhängen eines Binomialbaums mit Wurzel y an einen Binomialbaum mit Wurzel z. B INOM -L INK(H, y, z) 1 if y = min[H] then 2 Vertausche yund z.  Der obige Test ist höchstens dann erfolgreich, wenn y und z den     gleichen Schlüsselwert besitzen. h. er soll weiterhin auf eine   Wurzel zeigen. 3 end if 4 p[y] ← z 5 right[y] ← child[z] 6 child[z] ← y 7 degree[z] ← degree[z] + 1 Die Laufzeit von B INOM -M ELD läßt sich wie folgt abschätzen.

Der Zeitaufwand für das Erstellen des initialen Heaps für Ei ist O(|Ei |). Somit benötigt die Initialisierung O( vi ∈V |Ei |) = O(2m) = O(m) Zeit, da jede Kante in genau zwei initialen Mengen Ei auftaucht. Es verbleibt, die Zeit für alle Iterationen der while-Schleife von Schritt 9 bis 24 abzuschätzen. Zunächst bemerken wir, daß die Schleife genau n − 1 mal durchlaufen wird: wir starten mit n Komponenten, und in jedem Durchlauf verringert sich durch Vereinigen von zwei Komponenten ihre Anzahl um eins.

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